公主点兵ZT

前言: 小女子并非军迷, 可以说对现代军事具体一点的一无所知. 什么战斗机型号的性能啊, 火力如何啊, 第几代比第几代多多少功能, 优越在什么地方, 这些问题我都不能答. 那么既然如此, 我还能写些什么文章呢? 最近在研究随机微分搏弈理论中, 发现了一些关于军事的数量化控制的应用. 算是心中好奇吧, 就顺藤摸瓜在一些军事学术杂志l里随便找了一些文献. 读过以后感觉有点启发, 这篇文章就算是我的一些读后感吧. 写此文章的目的大致如下, 我觉得军迷应该很多, 所以肯定会有很多切磋的余地. 虽说一般军迷应该对<孙子兵法>, <战争论>等书籍内容都了如指掌, 容我大胆揣测一下, 可能对数量化控制的信息战争的战术, 以及它的军事哲学也许会生疏一些. 其实这有两个原因, 其一可能是关于数量化战术的科普读物不是很多, 毕竟它对读者还是要求一定的数学基础的. 其二, 则是很多这方面的数量模型, 都涉及到各国的国家机密, 在这方面发表的文章和书籍自然也就会少很多. 小女子的这篇文章, 自然也不会涉及到国家秘密, 毕竟我自己还从来没有接触过这些具体内容.

   所以本文将先对几个最简单的数量化军事模型, 做一下介绍以及初等推理(需要的专业知识到常微分方程). 这里面将介绍小规模战斗的搏弈模型, 以及大规模作战中的统计模型. 然后会叙述一下数量化控制思想, 能给军事哲学提供的一些新的思想. 我希望能对数量化战术和经典的军事战术做一些比较, 不过介于小女子对经典军事了解太少, 这里恳请和某位军迷讨论一下, 也有可能最后成文的部分就要以讨论的聊天为骨架了吧! 最后, 当然还要把话题联系回小女子的本行, 分析一下军事战术在金融市场上的应用价值.

第一部分: 一些数学模型的介绍

我们在第一章先介绍一个最简单的情况, 双方各有100步枪兵站好一排, 然后互相对射, 的一场消耗战. 通过这场比较简单的战斗, 我们可以把统计/遍历控制的基本思想建立起来. 第二章我们介绍一下一个发明于一次世界大战, 在二次世界大战中曾被广泛应用的兰切斯特模型. 该模型比第一章的基本模型, 最大的优点在于它可以估算一些"现代化"武器的杀伤效果. 同时我们还会看一下Koopman对兰模型的推广, 把技术发展的因素考虑了进去. 第三章我们将要考虑一下, 在双方应用不同阵形的情况下, 阵型的几何特征将如何影响战争的结局. 对此, 我们将以1805年的Trafalgar海战为例子, 解释一下为什么装备相对差的27艘战船, 成功地击败了装备优良的33艘战船. 第四章, 我们将回到第一章的模型, 把它推广成一个马尔可夫链. 这一步的必要在于, 以前的模型里之估算了各种情况的平均伤亡, 士兵的递减率看似是一个常数. 但实际战争中, 这显然是一个随机过程, 在每个瞬时士兵的数量应该是一个概率分部. 通过这个概率分布, 我们可以计算即使在一军处于劣势的情况下, 他们由于运气所胜的机会有多大? 另外, 我们会考虑士兵士气低落溃散问题, 我们假设一个有理智的士兵, 会在己方胜率小于一定的数字p时, 选择投降或者逃跑. 在这个基础上, 我们便可以把敌我胜负定义为先溃败者负, 未溃败者胜. 用新的胜负定义, 我们便可以作出更贴切实际的战争预测.

序章. 韩信点兵

在正文开始之前, 容小女子先把我国古代著名军事家, 韩信, 如何通过不同的列队就可以计算出士兵总数的. 这章和后面的关系不是很密切, 但它初步说明了数学在军旅中的一个巧妙应用. 相传刘邦拜韩信为大将军, 由于众将不服, 很多人第二天点卯有的不来, 有的迟到. 韩信知道后非常生气, 毕竟遵守纪律是每个军人都必有的素质. 但他刚刚拜帅, 又觉得如果明着去每个军营点点看谁来了谁没来, 怕和刘邦部下的将领伤了和气. 在这个情况下, 聪明的韩信就决定巡视各营. 据说刘邦的每个军营里应该有1000士兵, 韩信则以训练为名让他们列成: 七人一队, 十一人一队和十三人一队, 然后让部下数数每次列队后, 所剩的士兵(例如: 如果100人, 列7人一对, 由于7x14 = 98, 最后肯定会剩两个出来). 韩信巡视某一个营时, 发现七人一队余二, 十一人一队余九, 十三人一队余一. 韩信听到结果大怒, 下令马上惩罚该营的千夫长, 说1000士兵居然缺席将近一半, 只来了625人. 千夫长不服, 派人一数果然是625人, 众人都很惊讶, 而且对韩信的才能也很折服.

想知道韩信是怎么算出625个士兵的么? 这里就会用到解同余方程组里提到的"中国余数定理", 该定理在大约500年后的<孙子算经>(作者不是孙武, 而是孙资)中, 第一次以文字形式出现. 如果我们假设总共到席的士兵为x人, 把已知条件列成算式, 我们会得:

x = 2 mod 7

x = 9 mod 11

x = 1 mod 13

中国余数定理告诉我们, 此方程组在x = [0, 7x11x13-1] = [0, 1000]之内存在唯一解, 此解为625. 如果想理解具体计算方法, 我们不妨式一个小一点的例子, 也就是我国数学古书<孙子算经>里所出现的: "今有物, 不知其数, 三三数之, 剩二, 五五数之, 剩三, 七七数之, 剩二, 问物几何?" 答曰:"二十三." 术曰: "七七数之剩二, 置一百四十(2 x 70 = 140, 70为7x5的倍数), 五五数之剩三, 置六十三(3 x 21 = 63, 21 = 3x7), 七七数之剩二, 置三十(2 x 15 = 30, 30 = 3x5 的倍数). 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之(233 = 2x105 + 23), 即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。" 现在韩信点兵在抽象代数和密码理论里, 都有着重大意义. 但小女子写此文将以军事为主, 所以关于韩信点兵的故事, 也就讲到这里了.

以上这个故事纯属传说, 而且很多版本都不一样. 小女子选择的这个版本, 是来自于天津市南开中学的一个奥校补习老师, 也是我听到的第一个版本, 所谓先入为主, 我对它印象也最深刻.

第一章. 一个简单的模型

虽然说战争是复杂的, 难以预料的, 但数学家的作用就是在复杂中找出简单的规律. 所以说, 一般看起来越复杂的事物, 越应该想到用数学办法去简化它. 比如说, 如果一个鸡蛋从10公分高的地方掉了下来, 它摔碎的概率等于0.5. 当一个鸡蛋掉下来了, 我无法预料它是否会破, 但如果有100个鸡蛋掉了下来, 那么我会很有把握的告诉你, 大约50个鸡蛋是完美的, 50个是破碎的. 这个观测其实就是统计学里的遍历和定律的一个特殊情况. 但通过这个例子, 不禁让人联想起如果两个人打架, 我无法预测胜负, 但如果两万人做战, 也许我可以预测胜负.

那么现在就让我们分析一下一个拿破伦时代的典型战阵. 有A, B两个阵营, 每个阵营有100人, 每个人每30秒射击一次. 每次射中敌人的概率 = p, 且假设任何一个士兵只要被射中, 就会马上死亡, 当一方军队全部被击毙后, 另一方军队则算获胜. 也许很多朋友觉得我做了太多的假设, 但请您不要着急. 数学模型都是从最简单的情况开始做的, 然后把很多简单情况可以叠加成一个复杂的情况, 更贴切实际的情况. 比如说, 在分析了这个模型之后, 我们也可以把士兵负伤, 士气低落导致战阵提前崩溃等复杂现象考虑进去. 不管怎样, 我们还是先从最简单的情况开始分析:

不妨令v_t = [v1_t, v2_t]; v1_t = 在t时间A队的人数,  v_2t = 在t时间B对的人数. 在第一瞬间, 双方的三个人都向对方开枪. 我们分析一下A队的伤亡情况: 由于B队向A队开枪, B队的士兵可能命中, 可能不中. 如果命中, 也有可能三枪全打在一个人身上, 或者打在其中两人身上, 也可能把他们全部击毙. 但无论如何, 假设A的死亡率和B的士兵数成正比(例如A的期望伤亡 = mu*B的现存人数, B的期望伤亡 = nu*A的现存人数), 一般还是任为比较贴和实际的(B的人数越多, 火力就越大, A受到的打击也就越大). 这样一来, 如果我们计算一下可得, v1_t = v1_{t-1} - mu*v2_{t-1}, v2_t = v2_{t-1} - nu*v1_{t-1}. 把以上写成矩阵形式, v_t = T v_{t-1}, 其中T为一个2x2方阵.

T =

[1    -mu]

[-nu     1]

写成矩阵的一个好处, 就是如果我们想知道, 五分钟后的作战情况(双方每30秒射击一次), 那么我们可以直接计算T^10 v_0, 其中v_0等于双方的初始士兵数量, 便可以知道五分钟后双方大概的兵力对比. 另外, 我们也可以通过提高T的次数, 来计算哪方会最终获胜(找到最小的n, 使得向量T^n v_0的其中一个数字< 1. 这意味着某方的总士兵数小于一人), 以及获胜后该方所剩的士兵数, 和获胜所需要的战斗时间.

在以上模型里, 参数mu和nu在某种程度上反应出了双方军队的训练素质. 显然mu和nu越高, 军队就越训练有素, 当A方军队全都是神枪手时, 那么这就意味着nu = 1, 当他们全都不会打枪时, 那么这就是nu = 0的情况. 现在出现了一个值得考虑的问题, 也就是什么时候训练最有必要. 具体的说, v1_t = A 队在时间t时的士兵数字, 那么显然v1_t是一个关于mu和nu的函数. 我们现在考虑的问题, 转换成了以下数学问题, 在什么时候[d v1_t / d nu] 达到最高值? 什么时候每一"单元"的训练, 能在战场上得到最大的收获? 如果我们求出这个微分的极值, 我们会发现它在mu = nu的时候最大. 换句话说, 当敌我军队训练水平差不多的时候, 如果我们能再加把劲, 那么我们战场上收益将会达到最高. 反之, 如果我军已经训练有素, 而敌军却是一批不会打枪的, 那么这时候我们再训练多少, 我们所得到的额外收益则会比较小. 类似问题还有很多, 比如说如果A方提高武器的发射频率, 对战争会有什么样的影响? 在什么时候是提高武器效率的最佳时机? 这些问题的答案都在数量化指挥之内, 而我刚刚所讲到的, 也只是整个话题的一个引子.

[ 本帖最后由 周郎 于 2008-9-14 14:04 编辑 ]

第二章. Lanchester 理论

第一章讲述了一个最简单的遭遇战模型. 我们值得注意的是, 在现实战争中部队作战往往不是象曹操传那样, 按回合计算的, 而是一个连续的过程. 所以, 我们所考虑的应该是一个关于时间的连续过程, 而不是一个离散模型. 关于连续时间方面, 最早的文献就是英国工程师F.Lanchester在1916年发表的作品. 他在该文中阐述了两种情况, 一个是冷兵器时代的混战情况, 另一个便是在"高科技"(Lanchester这里所谓高科技, 是指一次世界大战时的领先技术). 作为学术性探讨, 我们不妨把两个情况都简单地看一下.

我们首先看看冷兵器时代的战争情况, 当时的作战基本分两类: 步兵混战或者骑兵突击. 我们的假设战场还是一片无险可依的大平地, 我们同时也忽略近距离交战时弓兵的作用. 因为在冷兵器时代, 步兵的杀伤半径和被攻击半径, 都比较小, 他们只有站在前几排的人才有可能攻击或者受到攻击. 我们看一下关于1346年的Battle of Crecy的油画, 冷兵器时代的步兵对抗性战争, 的确是只有双方的前排军士在互相搏斗.

现在我们要用数学建模的情况是, A, B两队步兵向对方逼近, 前排军队碰到敌人就打, 打死了第二排补上, 一直到一方的最后一个士兵战死为止. 只有第一排有战斗, 和前面若干范围内有战斗, 在数学上性质是一样的. 关键在于, 如果双方都是严格的步兵对阵时, 大多数站在后方的士兵, 在走近前排的位置前, 既没有攻击能力, 也没有被攻击的危险. 假设A_t, B_t两队在时间t的人数, 令a为A对B的攻击效率, b为B对A的攻击效率, 则可得微分方程:

dA/dt = -b, dB/dt = -a.

求解可得, (A_t - A_0) = K (B_t - B_0), 其中K = a/b为一个常数. 也就是说, 冷兵器时代的步兵之间的"公平"PK, 的确就是步兵人数和训练素质的一个乘积关系, 如果 A_0*a > B_0*b, 则A队就应该是最后的获胜者. 当然, 一个聪明的将领是不会打这种消耗战的. 打破这种僵局的一个战术之一就是运用骑兵. 由于骑兵的突击能力, 他们一旦步入战场就会持续作战, 而且通常骑兵的杀伤力要大于步兵. 假设在以上的情况, B方出现了骑兵队, 暂且命名为C. 则有

dA/dt = -b - c*C_t

dB/dt = -a

dC/dt = -d*C_t

其中c是骑兵对步兵的攻击效率, d是步兵对骑兵的攻击效率. 由于骑兵在全部时间都在作战, 所以骑兵的总攻击力和受攻击率, 都是和自己的兵力成正比的. 那么如果对以上方程求解, 则会发现 A队的人数将不再是以算数效率递减, 而是以几何效率递减(多了一项 e^(..) 的东东在里面). 用骑兵冲破步兵的战阵的另一个作用, 就是可以完全破坏敌军的几何效率(后文会专门写关于几何效率时再细细阐述), 同时也可以打击敌人的士气(后文也会细讲), 等等. 但这里值得注意的是, 即便只是硬对硬的步兵作战中, 突然杀来一对骑兵(或者是任何一种具备突击能力的军队), 那么它对对方步兵的纯物理打击也将是相当显著的.

下面我们讨论一下火器战争时代的情况, 自从火器进入战争后, 以上所叙述的"后队无战斗"的情况将不再成立. 两队军队, 每一个人都可以用远程武器去攻击对方, 也有可能被对方攻击到. 因此, 全部军队都会变成以上所叙述的"骑兵突击状态" - 有能力攻击敌军所有的敌人. 这样一来, 我们的微分方程将转换为,

dA/dt = b*B_t

dB/dt = a*A_t.

我们现在再探讨一下, 在什么情况下双方会打平手 - 即A队和B队的人全部死光, 有了这个答案我们就能判断出A或B赢的初始条件了. Lanchester在他的论文中认为, 如果双方的兵数, 是按同样比例来递减的话, 那么最终结果一定是平手. 即, 需要

(dA/dt)/A = (dB/dt)/B, 此关系又等价于, b*B_0^2 = a*A_0^2.

这也就是说, 如果"公平PK"(双方在同样条件下打消耗战), 一支军队的作战能力和它的杀伤技术是线性关系, 和它的兵数是成平方关系. 这就是Lanchester的平方定律.

为了阐述这个思想, 我们不妨分析一下特种兵的杀伤效率. 一个训练有素的特种兵, 其杀伤效率假设是普通士兵的16倍(16个普通士兵对一个特种兵能打的同归于尽). 我们关心的问题是1000个普通士兵需要多少个特种兵来对付(假设特种兵已在100个士兵的攻击范围内, 再假设双方都无险可守)? 如果按冷兵器的理论, 所需要的特种兵应该不到60人, 但由于平方定律, 我们发现最终所需要的特种兵数为1000/sqrt(16) = 250人. 而现实中似乎拿一支完全由特种兵组成的部队, 和对方的主力步兵对抗, 显然也会是一种浪费. 在"公平PK"中, 提高一支军队的数量比提高一支军队的质量更重要. 但显然一支常胜的军队, 它的质量会是相当棒的, 这是因为高质量的部队在搏弈中的战术空间将大于普通士兵. 例如, 特种兵的最大优点是在于执行一些普通步兵不能执行的任务, 而并不是在"公平PK"中和普通士兵互相射击.

第三章. 数量模型对军事思想的影响



写完前两章之后, 也许会给很多朋友带来一种误会, 认为我写这篇"兵法"是为了取代将领临机应变的灵活战术, 而是用一些微分方程就可以解决问题. 我只能说这是读本文的一个误区, 因为我说了这么多, 还从来都只是在研究在公平消耗战中, 双方的士兵会以什么样的"效率"死亡. 相信任何一个优秀的将领都不会只考虑打消耗战, 更不可能追求这里所谓的"公平消耗战"的模式, 来进行军旅的对决. 那么既然如此, 我写这么多又有什么用处呢? 我希望朋友们读完这一章, 回找到一个相对满意的答案.



我们现在来分析一个比较复杂, 也比较实际的实战情况, 也是无论现代战争或古代战争都经常出现的"各个击破"的战术. 假设A和B的两个现代军队交战(以枪炮攻击为主): A军有10000人, B军也有10000人, 其中A军的杀伤系数和B军一样. 如果正面对抗, 那么显然结果是两败俱伤, 按期望值演变最终两军皆没. 那么这时候, 如果A军选择一种战术, 可以把B军分割成两个5000人的军队. 那么按Lanchester定律预测, A方消灭B队的第一批5000人只会损失2500人. 简单的说, 这是因为A队的10000人火力是B军的两倍. 那么用7500人去攻击B军剩下的5000人, 虽然也会损失相当严重(大概损失3750人), 但A军最终还是可以获胜的.



通过这段分析我们可以看出, 当一个军队可以暂时让敌军一部分力量"暂时退出战斗", 那么该军队用"各个击破"而取胜的成功率就会提高. 我们讨论一下, 具体什么可以算做"暂时退出战斗". 所谓退出战斗的实际意义, 就是让敌人一部分军队丧失攻击能力. 我们这里定义有攻击能力的士兵为"活跃"(active), 没有攻击能力的叫"呆子"(idle). 假设一队10000人的部队, 当其中5000人受到攻击, 另外5000人坐视不管, 这就可以看做有5000人暂时退出, 而另外5000人是活跃的. 也有一种可能, 就是当10000人的军队把敌人的10000包围在地势不利的地方. 其中敌人的5000人由于种种原因, 不能对我军构成任何攻击能力(例如射程不够), 而我军的10000人可以全部对敌人发动攻击. 在这种情况下, 我军的10000人就有更高的胜利把握. 从这个角度看, 把我军活跃人数最大化, 把敌军活跃人数最小化, 是双方公平对阵战术的关键.



类似这种情况, 在1805年的Trafalgar海战为例子. 该战役的背景是这样的: 1803年拿破仑统治的法国与英国为首的反法联盟再次爆发战争, 拿破仑计划进军英国本土, 为牵制住强大的英国海军, 拿破仑派海军中将维尔纳夫率领的法国和西班牙联合舰队与英国海军周旋. 1805年10月21日, 双方舰队在西班牙特拉法加角外海面相遇, 决战不可避免, 战斗持续5小时, 由于指挥失误, 法西联合舰队遭重创, 主帅维尔纳夫被俘. 英军主帅聂尔逊公爵也在战斗中阵亡. 此役之后法国海军精锐尽丧从此一蹶不振, 拿破仑被迫放弃进攻英国本土的计划. 而英国海上霸主的地位得以巩固. 此战被公认为拿破伦战争中最为显著的一场海战, 该战也是英国海军奠定自己在下100年世界无敌地位的战争.



如果按我们目前模型的观点看, 首先英军元帅聂尔逊公爵, 知道敌众我寡, 自然要避免直接打出现对射的消耗战的情况. 他指挥英军27艘一字排开, 对准法军舰队进行切割. 法西联军由于行队不整, 被英军轻易切成两半. 由于英军的分割的突然性, 令法西联军舰队出现了大量的"呆子". 只有英军突破口处的几艘战舰可以和英军直接交战, 法军南北两端的舰队只能坐观, 无法有效地给予火力支援. 这样一来, 英国海军便对法西联军成功地各个击破.



被分割开的法军舰队. 其舰队阵型错乱, 加之船头方向不对, 后方舰队射程不足等, 出现了大批"丧失攻击力"的"呆子".



各个击破这个道理其实谁都明白, 而且当年聂尔逊公爵运用此战术时, 根本还没有任何数量方法可拿来应用. 但值得注意的是, 经典军事家认为各个击破主要是为了造成敌军混乱, 和心态上的打击. 但因为冷兵器作战中, 活跃士兵相对比较少: 武器局限问题, 10000士兵里可能长时期有1000活跃, 9000呆子. 所以10000人分两次打, 假设每个士兵都战到最后一人的话, 不一定比10000人一次吃掉轻松多少. 而现代战争中, 10000士兵用好了应该不会出现一个呆子, 如果能让对方的10000士兵里, 哪怕出现5000个呆子, 那么你就已经有很大胜算了.



这个例子还说明了一个问题: Lanchester模型所模拟出来的情况, 是战术空间里每一瞬间的切面空间里所发生的情况. 例如Trafalgar战役中, 上午11点时可能是一种对抗, 当聂尔逊完成了切割后则又出现了另外一种对抗. 无论使用什么样的战术, 所解决的无非是两军在不同的情况下如何对抗, 但对抗这个过程一般却是很难避免的. 因此我们称对抗过程为战斗过程的切面空间. 在微分几何的流形和李群的理论里, 也经常出现类似的情况: 首先弄清楚怎么切面空间里怎么回事, 然后通过一个"connection form"(接量), 去把流形上的每一个点的切面空间联系起来. 这两部只要走通了, 我们就会对整个战术空间的结构, 有一个比较详细的理论. 在一场战争中, 关于切面空间的情况, Lanchester方程可以作出一种初步的分析, 本篇文章后面还会提供一些其它改良过的模型. 那么什么才是这里所谓的"接量"呢? 这就是搏弈论出现的地方了, 由于第一部分主要以具体模拟激战为主, 关于搏弈论的问题就只好等到第二部再介绍了. 不过在这里还可以举个简单的例子, 令K_a*A_t = A军中的活跃人数, I_a*A_t = A 军中的呆子人数, 则K_a + I_a = 1. Lanchester方程说dA/dt = - b*B(t), 由于呆子不能攻击, 所以此方程应该更新为:

dA/dt = -b*K_b*B_t

dB/dt = -a*K_a*A_t

在理想的冷兵器战斗中, K_b*B_t = 常数, 在现代战斗中K_b*B_t* = B_t, 当部队出现不良状态时, K_b*B_t < B_t. 由于K_b显然是关于双方将领指挥战略函数, 那么K_b = K_b (t, alpha(t), beta(t)), 其中alpha(t)是从实数－＞Omega_A, A军战术空间的函数(具体怎么用数学定义战术空间Omega_A, 要到第二部分了), 它的取值直接代表着A方主将对于战术的决策. 对战术空间Omega_A, 我们可以创造一个sigma-algebra F(sigma-algebra可以理解为事件空间), 使得(Omega_A, F, F_t, P)变成为一个过滤性概率空间. 在这个基础上, 我们要求alpha(t)为一个F_t可测函数. 对于没有接触过测度论的朋友们, 这个附加条件的实际意义是, 在决定alpha(t)的时候, 我们不能用到未来还没有发生过的信息(也就是说不能有象诸葛半仙那种上知500年, 下知500年的人). 所以说现在我们的模型大体是以下结构:



实数(时间)+(Omega_A, F^A, F^A_t, P) ----> A 方面看自己的信息和决策空 ----> 给出一个A的瞬间策略

实数(时间)+(Omega_B, F^B, F^B_t, P) ----> B 方面看自己的信息和决策空 ----> 给出一个B的瞬间策略

A+B方的策略 ---> 在t瞬间的 K_A 和 K_B ----> 下dt时间的士兵伤亡, 由该瞬间的 K_A, K_B 和切面空间上的 Lanchester 方程来决定.



另, 一般的说, (Omega_A, F^A, F^A_t, P) != (Omega_B, F_B, F^B_t, P), 因为如果它们相等, 就代表双方将领掌握的信息是一样的了. 这个过程会一直维持下去, 一直到一方士兵死光(目前失败的定义只能是士兵全部战死, 有了随即模型后我们还可以做出更贴切实际的定义). 那么理智的双方将领所要考虑的是, 如何决定F^A_t可测的alpha(t), 和F^B_t可测的beta(t), 使得己方最终存活士兵, 或敌方伤亡士兵达到最大. 类似问题在控制论(Optimal Control)和微分几何学里, 都已经有很好的处理了. 至于具体的几种战术, 是属于搏弈论范围内的, 我们还是留到第二部分来分析吧.





P.S. 这里要提前说一个问题, 有些朋友提出了搏弈论做出了一个很不实际的假设, 也就是如果双方统帅不理智了怎么办? 我在这里反问各位, 大家下围棋或者象棋的时候, 开局时大家都走定式, 如果你对手不按定式走你有什么办法? 一个死记硬背定式的人, 可能这时候毫无办法, 但一个真正理解定式变化的人, 可以马上利用破绽出奇招捞取更大的便宜. 搏弈论的道理也是这样, 第二部里我们会用数学办法推出若干个平衡点. 这里的理论也是一样的, 如果一方这时候不理智, 犯糊涂了, 那么理论上说只要他碰到足够强的对手, 他都会注定要吃大亏的. 下围棋里的让子局显然白方会走所谓的"欺招", 例如一些过于强硬, 而且有破绽的无理棋. 但白方既然敢让子, 就说明他的水平比黑方高, 他走这些棋时可能是预料到黑方"不够聪明", 才这么下的. 军事中也有类似的情况, 这些看似不理智的手段, 其实还是应该算理智行为, 搏弈论中管这个叫Principle of Rational Irrationality (有理智的无理).

预备楼。

虽然任何事物都可以用数学来表示，但是人却是最大的变数，比如说士气，后勤，还有天气以及统帅

我想起了美军进攻伊拉克是好象是旅游一样的速度推进,可以说是以一当百啊.

不错，一个不爱好军事的人能写成这样已经很不容易了，有潜力。

这才应该是专业文章 ，真是科学啊，不过看起来很累

没仔细看过这个文章
不过个人认为 ,用数学模型来模拟战争是不可靠的,否则根本不用打仗,找数学家算一算就可以决定投降还去接收敌国...   
有的军队出现伤亡后就会溃散,有的军队战到一兵一卒也不会后退. 至于心理战等等就更不能模拟了.而且这样纯粹数学化的推算会导致士兵的信心下降,认为自己对打赢这场仗无足轻重.也许这样不合适,但是战斗中士兵必须得有那种自信,就是自己不是炮灰而是英雄..

心理因数和小概率突发事件无法用数学预测~
还有情报的因数，你不可能对战场的所有单位进行量化，过于依赖数学演算是有可能作出错误判断的。